会社や組織の管理・運営、新商品の研究開発、大学のクラスやサークル、あるいは、趣味やスポーツの同好会など、様々な社会的経済的な活動を結節点として、現実社会での人間関係の人的ネットワークは形成されていく。私たちは、日常的に、人と人の間に形成された社会的なネットワークの中で日々の生活を送っている。ここで、ビクトル・ユーゴの小説『Les Miserables』における登場人物をノードとし、彼らの間の人間関係をリンクで結んで描いたネットワークを作成してみよう。networkx のモジュールを利用して以下のようなコードを書きます。

 
"""
    References
    ..  D. E. Knuth, 1993.
       The Stanford GraphBase: a platform for combinatorial computing,
       pp. 74-87. New York: AcM Press.
    """

import networkx as nx

H = nx.Graph()

import matplotlib.pyplot as plt
 
#H=nx.read_gml('lesmiserables.gml')
H=nx.les_miserables_graph() 

nx.draw(H, with_labels=True,node_size=200, node_color='b', font_color='y') 
plt.axis('off')
plt.title('Les Miserables')
plt.savefig("lesmiserables.png") # save as png
plt.show() 

print("Node Degree")
for v in H:
    print(f"{v:4} {H.degree(v):6}")

　このコードを実行して描いたネットワークのグラフが下の図です。

　『Les Miserables』における人間関係

　人間関係の大きさに応じてリンク数が多くなる。当然のことながら、主人公のジャン・バルジャンとファンティーヌとその娘コゼットに接続するリンク数が最も多い。ノード番号11がValjean、ノード２３がFantine、ノード２６がCosetteに対応している。

　最も基本的な意味で、ネットワークとは、ある対象物と他の対象物の組がリンクによって連結されているような対象物とリンンクの組合せの集合である。ソーシャル・ネットワークの例として必ず登場するのが、Zacharyによる大学空手倶楽部を通した学生間の友人関係のネットワークである。networkx のモジュールを利用して以下のようなコードを書きます。

"""
Zachary's Karate Club graph
Data file from: http://vlado.fmf.uni-lj.si/pub/networks/data/Ucinet/UciData.htm
Zachary W. (1977). An information flow model for conflict and fission in small groups. Journal of Anthropological Research, 33, 452-473.
"""


import matplotlib.pyplot as plt
import networkx as nx

G = nx.karate_club_graph()
print("Node Degree")
for v in G:
    print(f"{v:4} {G.degree(v):6}")
plt.axis('off')
plt.title('karate_club')
nx.draw_spring(G, with_labels=True, node_color='y')
plt.savefig("karate_club.png") # save as png
plt.show()

　このプログラムを実行すると、以下のグラフが得られます。

　 空手クラブを介した友人関係

　３４名からなる友人ネットワークの中で、ノード番号0と33が最も多いリンク（友人）数を持つ。

　以上の２例は networkX の公式サイトのこのページにあります。

　以下の図は、1970年12月時点でのARPANET(Advanced Research Projects Agency Network)と呼ばれるコンピュータ・インターネットのネットワーク構造を描いたものである。ARPANETは1969年に米国国防総省の国防高等研究計画局のもとに構築された研究・調査のための大型汎用コンピュータのネットワークである。最初はカリフォルニア大学ロサンゼルス校 (UCLA)とスタンフォード研究所（SRI）との間で試験的に回線が引かれ、後に、UCLA、カリフォルニア大学サンタバーバラ校 (UCSB)、SRI、スタンフォード大学（STAN)、ユタ大学（UTAH)を結ぶ専用回線が敷設された。この ARPANET のネットワークのグラフを作成してみよう。

# creating a new network 
import networkx as nx 

G = nx.Graph() 

N=['UCLA','UCSB','SRI', 'STAN', 'RAND', 'UTAH','MIT','BBN', 'HARV','CASE', 'CARN','LINC']
E=[('UCLA','UCSB'),('UCLA','SRI'),('UCLA','STAN'),('UCLA','RAND'),('SDR','RAND'),('SRI','UCSB'),('SRI','STAN'),('SRI','UTAH'),('UTAH','SDR'),('UTAH','MIT'),('RAND','BBN'),('MIT','LINC'),('MIT','BBN'),('BBN','HARV'),('LINC','CASE'),('HARV','CARN'),('CASE','CARN')]
G.add_nodes_from(N)
G.add_edges_from(E)
# drawing the created network 
import matplotlib.pyplot as plt
 
nx.draw(G,with_labels=True, node_color='y') 
plt.axis('off')
plt.title('an example')
plt.savefig("ARPANET.png") # save as png
plt.show() 

　このプログラムを実行すると以下のようなグラフが描かれます。

　1970年12月でのARPANETネットワーク

　各ノードはホスト・コンピュータが置かれている大学等を表現しており、リンクは各ホスト・コンピュータが専用回線で直接に接続していることを示す。ホスト・コンピュータを置く機関は、地理的には東海岸のマサチューセッツ工科大学（MIT）やハーバード大学（HARV）から西海岸のスタンフォード大学やUCLAなどの１３大学等で、ネットワーク上では、リンクされた各ノード間の地理的距離はあまり関係がない。ちなみに、RAND研究所（RAND）はカリフォルニア州サンタモニカに位置するが、BBN社（BBN Technologies）はマサチューセッツ州ケンブリッジに位置する。このネットワークは情報通信ネットワークの典型例である。

　1971年には、Interface Message Processor（IMP、現在のルーターに対応）として軽量なHoneywell 316が導入されて、ホストと最大63台のASCIIシリアル端末が接続された。1974年6月にはIMPが46台となり、1975年7月には57台のIMPが相互接続された。1981年までに213台のホストコンピュータが接続され、およそ20日に1台の割合で新たなホストが接続されるという状況になった。1983年、資金提供を行っていた国防省側の方針で、NCP（ネットワーク コントロール プログラム）をTCP/IP（Transmission Control Protocol /Internet Protocol ）に切り換えることになり、ARPANETは初期のインターネットのサブネットとなった。これが今日のインターネットにおけるTCP/IPの使用にとって決定的な条件のひとつを作ったと考えられている。

　次に、社会的ネットワークの分析例を取り上げましょう。社会的ネットワークのモデルについての解説は、このPDFファイル にあります。

　networkX を用いて davis_southern_women_graph、Florentine families graphなどの社会的ネットワークを表現するソースコードは、networkX の公式サイトのこのページにあります。

　15世紀イタリア・フィレンツェで Medici 家が強大な権力を維持できた理由について考察する方法として、当時のフィレンツェにおける有力な家系間のネットワークを取上げてみよう。この家系間ネットワークを確認するために、以下のようなプログラムを作成します。ノード番号5が Medici 家です。

# Watts Strogatz graph 
import matplotlib.pyplot as plt
import networkx as nx

G = nx.Graph() # or DiGraph, MultiGraph, MultiDiGraph, etc >>> G = nx.Graph(name='my graph')
nod=range(0,15)
e= [(3,5), (4,5), (5,10),(5,11),(5,13), (5,6) ] # list of edges
G.add_nodes_from(nod)
G = nx.Graph(e)
e1=[(0,1),(0,2), (0,4),(1,4), (1,7),(1,2), (2,3),(3,6),(11,12), (13,14),(6,8),(8,13), (8,9),(13,14)]
G.add_edges_from(e1)


pos=nx.spring_layout(G) # positions for all nodes

# nodes
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,
                       nodelist=[0,1,2,4,7,8,9,10,12,14],
                       node_color='b',
                      node_size=30,
                   alpha=0.8)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,
                       nodelist=[3,4,5,6,10,11,13],
                       node_color='r',
                       node_size=50,
                   alpha=0.8)

# edges
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=1.0,alpha=0.5)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,edgelist= e, width=1.5,alpha=0.5,edge_color='r')
nx.draw_networkx_edges(G,pos,edgelist= e1, width=1.5,alpha=0.5,edge_color='b')


# some math labels
labels={}
labels[0]= 'Castellan'
labels[1]='Peruzzi'
labels[2]='Strozzi'
labels[3]='Ridolfi'
labels[4]='Barbadori'
labels[5]='Medici'
labels[6]='Tornabuorn'
labels[7]='Bischeri'
labels[8]='Guadagni'
labels[9]='Lambertertes'
labels[10]= 'Acciaiuol'
labels[11]='Salviati'
labels[12]='Pazzi'
labels[13]='Albizzi'
labels[14]='Ginori'

# cumputing the measures of network
print('the clustering coefficient for nodes = ',nx.clustering(G))
print('degeree sequence = ',G.degree())
print('degree histogram = ', nx.degree_histogram(G))
print('degree centrality = ',nx.degree_centrality(G))
print('betweenness centrality = ', nx.betweenness_centrality(G))

#nx.draw_spring(G)
nx.draw_networkx_labels(G,pos,labels,font_size=12)

plt.axis('off')
plt.title('Fifteen-century Florentine marriages network')    

plt.savefig("medici.png") # save as png
plt.show() 

　このコード実行すると、下のグラフが得られます。

　このネットワークにおいて、Networkxのアルゴリズム関数を用いて計算した詳細な結果は以下の表のようになります。betweenness_centrality 、 degree centality などのアルゴリズム関数については、この公式サイトを参照ください。

　Medici家を含むこのネットワークで、betweenness cetrality(中継中心化度）及び degree centrality などの計算をしましょう。以下のような命令文を書けば、以下の結果が得られます。

print('the clustering coefficient for nodes = ',nx.clustering(G)) 
print('degeree sequence = ',G.degree().values()) 
print('degree histogram = ', nx.degree_histogram(G)) 
print('degree centrality = ',nx.degree_centrality(G)) 
print('betweenness centrality = ', nx.betweenness_centrality(G)) 

　この例における家系\(i\)と家系\(j\)を結びつける最短距離の経路の総数を\(P(i,j)\)と表記し、これらの経路の中に家系\(k\)が含まれている経路数を\(P_k(i,j)\)と表記する。Barbadori家とGuadagni家を結ぶ最短距離の経路は、３つのリンク（枝）を経由するBarbadori - Medici - Tornabuoni - Guadagniという経路とBarbadori - Medici - Albizzi - Guadagni の経路の２経路である。だから、\(i=\)Barbadori、\(j=\)Guadagniとしたとき、\(P(i,j)=2\)である。\(k=\)Mediciとすると、\(P_k(i,j)=2\)である。 \(k=\)Strozziとおくと \(P_k(i,j)=0\)、\(k=\)Albizziとおくと \(P_k(i,j)=1\)となる。Medici家はBardadori家とGuadagni家を結びつける上で中心的役割を果たす家系となっている。ネットワークにおけるこうした中心的役割を数量的に表現するのが、中継中心化度である。この計量化を活用すると、Medici家の係数は\(0.5219\)となる。つまり、Medici家以外の２家系を結ぶ最短経路総数のうち52％の経路はMedici家を経由していることがわかる。Strozzi家の中継集中度指数を計算すると、\(0.103\)となる。Medici家の次にこの値が大きい家系はGuadagni家で、その値は\(0.2545\)である。このことから、Medici家の政略結婚がネットワークの構築にいかに重要な役割をはたしたかを理解できる。

　さらに、degree centralityの係数の値もMedici家が最大となっている。また、Medici家が最も多いリンク数6を持っています。社会的ネットワークにおける degree centrality や betweenness cetrality の定義は:このPDFファイル に掲載されています。

　周知の通り、ネットワークの研究は、インターネット上での web のリンク接続、情報の交換と流通、イノベーションの伝搬、貿易取引と物流、金融資産の取引関係、友人関係、病気の伝染、生体内神経回路など、多種多領域にまたがる領域において急速に発展してきた。ネットワークは非常に多種多様な領域に広がっているが、大きく分けて4種類のネットワークに分類することができる。一つは、人々の生活に見られる社会的経済的なネットワーク (social and economic networks) である。会社関係、あるいは取引関係、同級生同士の人間関係、サークルを介した友人関係などから形成される人々のネットワークがこれに対応する。企業と企業間の取引関係のような、組織と組織間のネットワークもこれに入る。最近では、Facebook、Twitter, LINE などの SNS を介した新しい人的ネットワークが形成されている。

　次は、インターネット社会の基盤を形成する情報ネットワーク (information networks) である。E メールの連鎖のネットワーク、学術論文の引用ネットワークやインターネット上において各 web ページのドキュメントがハイパーリンクされているなど、情報を対象物として連結されたネットワークである。 三つ目に、経済的活動のインフラを提供するネットワークとして、財やサービスの流通を行うために計画された技術的ネットワーク (technological networks) に分類されるものがある。代表的なものとして、各ドメイ ン間をつなぐインターネット回線、電力配電網、運輸交通網のようなインフラ的なネットワークである。 最後に、生物学的ネットワーク (biological networks) をあげることができる。生体内におけるニューロン 神経のネットワーク、生態系における植物連鎖のネットワーク、病原菌の拡散過程を研究するときに採用され る生体間の接触ネットワークなどが、これに当たる。

　近年における情報通信技術の驚異的な進歩は社会的ネットワークの性質に大きな影響を与えている。２０世紀初頭以来、急速に、世界は小さくなっている。インターネットの進歩によりさらに世界は小さくなり続けている。多数の人々は新しいSNSを介して比較的に少人数グループとの間で情報通信を行っている。政治的なブログに見られるように、新しいSNSの発達は各個人がより多様な意見を持つようになることを必ずしも保証しない。多分、SNSの進展は、他者の行動や意見を過剰に模倣する烏合の衆、群衆化を急速に作り出す可能性を持つ。Facebook、Twitter、LINEに代表される新しいSNSは人々が入手する情報の性質を変化させたり、情報の処理方法を変化させるでしょう。

　社会経済ネットワークはそれを構成するノード（結節点）が人間あるいは人的組織であり、人間あるいは人的組織の意思決定がネットワーク上で相互関係している点に特徴がある。だから、社会経済ネットワークの重要な特徴は、ネットワーク内のリンク接続の構造に依存するだけでなく、ネットワーク構造上で起きる行為の相互干渉の性格にも大きく依存する。ネットワーク内の各主体あるいは組織の意思決定はネットワーク上で相互依存するので、社会経済ネットワークの分析ではゲーム理論の枠組みが必要となってくる。ネットワーク内の各主体あるいは組織の意思決定が他の主体に影響を持たらす現象を情報カスケード現象やネットワーク効果と呼んでいる。このような情報カスケード、群集化、ネットワーク効果がどのようなメカニズムで働き、どのような社会的現象を引き起こすのかを理解する必要がある。

　ここでは、イノベーションの波及問題をネットワークモデルを用いて分析してみましょう。この理論的な解説はこのPDFファイル を参照して下さい。

　興味のある方は以下の論文を読んでみて下さい。大学教養程度の数学が必要です。

ネットワークの理論入門：このPDFファイル

ネットワークの理論.母関数アプローチ：このPDFファイル

経済的ネットワークのモデルについての解説:このPDFファイル

社会的ネットワークのモデルについての解説は:このPDFファイル

銀行間ネットワークの解説：このPDFファイル

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